Mappare la terza dimensione implica estendere il nostro paesaggio matematico dal piano piatto $\mathbb{R}^2$ a $\mathbb{R}^3$, stabilendo tre linee direzionate mutuamente perpendicolari (gli assi x, y e z) che si incontrano nell'origine $O$.
Proprio come utilizziamo la serie di Maclaurin della funzione esponenziale, $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$, per costruire funzioni complesse a partire da termini polinomiali semplici, costruiamo lo spazio tridimensionale suddividendolo in otto ottanti utilizzando tre piani coordinati che si intersecano piani coordinati (xy, yz e xz). Questa transizione ci permette di localizzare ogni punto P come un triple ordinato (a, b, c), che rappresenta le distanze orientate da questi piani — passando dalla "complessità infinita" di una curva di Koch bidimensionale curva di Koch alla struttura volumetrica del mondo fisico.
La Geometria di $\mathbb{R}^3$
Per identificare i punti nello spazio, fissiamo tre linee direzionate che passano per $O$ e sono tra loro perpendicolari, chiamate asse x, asse ye asse z. La loro orientazione segue la Regola della Mano Destra: se pieghi le dita della tua mano destra dall'asse x positivo verso l'asse y positivo, il pollice punta verso l'asse z positivo (Figura 2).
I tre assi coordinati determinano i tre piani coordinati: il piano xy ($z=0$), il piano yz ($x=0$), e il piano xz ($y=0$). Questi piani dividono lo spazio in otto parti chiamate ottanti. Il primo ottante è dove tutte le coordinate sono positive.
Per qualsiasi punto $P$, il triple $(a, b, c)$ contiene la coordinata x ($a$), coordinata y ($b$), e coordinata z ($c$). Queste sono le distanze orientate dai piani yz, xz e xy, rispettivamente.
Analogia Matematica di Mappatura
Localizzare un punto $P(a, b, c)$ sommando i componenti è concettualmente simile alla somma dei termini di una serie. Considera il calcolo della somma della serie $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x+2)^n}{(n+3)!}$. Ciò richiede di riconoscere il noto schema della serie di Maclaurin di $e^x$.
La serie $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x+2)^n}{(n+3)!}$ è correlata a $e^{x+2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x+2)^n}{n!}$. Per risolverla, manipoliamo l'indice per adattarlo alla forma familiare:
$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x+2)^n}{(n+3)!} = (x+2)^{-3} \left[ e^{x+2} - 1 - (x+2) - \frac{(x+2)^2}{2!} \right]$$
Proprio come identifichiamo gli ingredienti in una serie di potenze, identifichiamo gli assi e i piani per determinare la posizione spaziale.
Il Pericolo della Dimensione
Nota: Quando viene fornita un'equazione, dobbiamo capire dal contesto se rappresenta una curva in $\mathbb{R}^2$ o una superficie in $\mathbb{R}^3$.
- Equazione $y=5$: In $\mathbb{R}^1$, è un punto. In $\mathbb{R}^2$, è una linea orizzontale. In $\mathbb{R}^3$, è un intero piano parallelo al piano coordinato xz (Figura 7).
- Equazione $y=x$: In $\mathbb{R}^3$, poiché $z$ è "libero", questa equazione rappresenta un piano verticale che passa per l'asse z, tagliando il piano xy lungo la linea $y=x$.